고등학교 3학년 수학 상위등급 고난도 기하와 함수 융합형 문제

✅ 고3 수학 상위권용 고난도 문제

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문제

두 실수 a>0a > 0a>0, b>0b > 0b>0에 대하여 곡선

C:y=(x−a)2+b2C: y = \sqrt{(x - a)^2 + b^2}C:y=(x−a)2+b2​

과, 직선

L:y=x+kL: y = x + kL:y=x+k

이 서로 한 점에서만 만난다고 하자.

1. 이 조건을 만족하는 모든 실수 k의 범위를 구하시오.
2. 또한, 함수 f(x)=(x−a)2+b2f(x) = \sqrt{(x - a)^2 + b^2}f(x)=(x−a)2+b2​와 직선 y=x+ky = x + ky=x+k가 접할 때, 접점의 좌표를 구하시오.

단, a=2a = 2a=2, b=3b = 3b=3일 때를 기준으로 하시오.

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📌 출제 의도 및 난이도 분석

• 함수 그래프와 기하적 해석을 결합한 문제
• 루트 함수의 기하적 형태(원과 유사)를 이해하고 있어야 풀 수 있음
• 접선 조건 → 미분과 정리된 식의 연립을 통해 해석해야 함
• 범위 구하기 → 판별식 이용
• 난이도: 수능 킬러 문항 하단 수준 (~4점 중 어려운 유형)