평행이동된 원과 직선의 접선 조건 — p + q + r의 값 구하기
“두 원의 중심 관계와 접선 조건, 동시에 만족시킬 수 있을까?”
안녕하세요! 오늘은 원의 평행이동과 직선과의 접선 관계를 동시에 고려하는 흥미로운 수학 문제를 함께 풀어보려 합니다. 특히 원 D와 D'의 중심 관계와 직선이 두 원에 모두 접한다는 조건을 이용해 값을 구하는 것이 핵심 포인트예요. 수능이나 내신 기하에서 자주 출제되는 유형이니, 꼭 끝까지 읽고 따라와 보세요!
✔️ 문제
두 양수 p, q에 대하여 원 \( D : (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = r^2 \) 를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 원을 D'라 할 때, 두 원 D, D'은 다음 조건을 만족합니다.
- (가) 원 D'는 원 D의 중심을 지난다.
- (나) 직선 5x + 12y - 13 = 0은 두 원 D, D'에 모두 접한다.
이때 \( p + q + r \)의 값을 구하시오. (단, r은 양수이다)
1. 조건 (가): 중심을 지난다는 의미
먼저 원 D의 중심은 \((-2, 3)\)입니다. 원 D'는 이 원을 x축 방향으로 \(p\), y축 방향으로 \(q\)만큼 평행이동한 것이므로, 중심은 \((-2 + p, 3 + q)\)가 됩니다.
문제에서 “원 D'가 원 D의 중심을 지난다”고 했으므로, 이 중심 좌표 \((-2 + p, 3 + q)\)가 \((-2, 3)\)과 같아야 합니다.
| \(-2 + p = -2\) | → \(p = 0\) |
| \(3 + q = 3\) | → \(q = 0\) |
즉, 이동 거리가 전혀 없으므로 D'는 사실상 D와 같은 중심을 가지는 원입니다.
2. 조건 (나): 접선과 원의 관계
직선 \(5x + 12y - 13 = 0\)이 원 D에 접한다는 것은, 이 직선과 원의 중심 사이의 거리가 반지름 \(r\)과 같다는 것을 의미합니다.
3. 거리 공식으로 반지름 구하기
원 D의 중심은 \((-2, 3)\)이고, 거리 공식은 다음과 같습니다:
| \(\displaystyle r = \frac{|5(-2) + 12(3) - 13|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} \) |
- \( = \frac{|-10 + 36 -13|}{\sqrt{25 + 144}} \)
- \( = \frac{|13|}{\sqrt{169}} = \frac{13}{13} = 1 \)
따라서 반지름 \(r = 1\)임을 알 수 있습니다.
4. 최종 정리 및 계산
앞서 구한 값들을 종합해 보면 다음과 같습니다:
| 항목 | 값 |
|---|---|
| p | 0 |
| q | 0 |
| r | 1 |
따라서 최종 답은 \( \boxed{p + q + r = 0 + 0 + 1 = 1} \)입니다.
5. 시험에 자주 나오는 포인트
- ‘중심을 지난다’는 조건 → 좌표 일치 조건으로 바꾸어 해석
- 접선과 원의 관계 → 중심에서 직선까지의 거리 = 반지름
- 직선 거리 공식은 반드시 외워두기: \(|Ax + By + C| / \sqrt{A^2 + B^2}\)
기출 문제나 모의고사에서도 자주 활용되는 유형이므로, 이 문제를 통해 꼭 공식과 조건 해석 능력을 함께 익혀두시기 바랍니다.
이번 문제를 통해 원의 평행이동 개념, 중심 좌표의 조건 해석, 그리고 직선과 원의 접선 관계를 활용한 거리 계산까지, 복합적인 개념을 통합적으로 다뤄보았습니다. 단순히 공식을 암기하는 것이 아니라, 상황을 정확히 해석하고 적용하는 것이 가장 중요합니다. 오늘 공부한 내용을 기반으로 다양한 문제에 도전해 보세요! 질문은 언제든 환영입니다 :)